Riemannsche Geometrie

Riemannsche Geometrie bezeichnet einen Zweig der Mathematik, der sich mit gekrümmten Räumen beliebiger Dimension befasst und das unverzichtbare mathematische Fundament der Allgemeinen Relativitätstheorie bildet.

Bernhard Riemann entwarf diese Geometrie in seinem Habilitationsvortrag “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” vom 10. Juni 1854 als Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie. Während in der euklidischen Geometrie (für flache, ungebogene Räume) die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks stets exakt 180 Grad beträgt, kann diese Summe in der Riemannschen Geometrie größer oder kleiner sein - je nachdem, ob der Raum positiv oder negativ gekrümmt ist. Auf einer Kugeloberfläche etwa beträgt die Winkelsumme stets mehr als 180 Grad.

Das zentrale Werkzeug der Riemannschen Geometrie ist der metrische Tensor, der angibt, wie Abstände und Winkel in einem Punkt des Raumes gemessen werden. In Einsteins Feldgleichungen bestimmt die Verteilung von Masse und Energie diesen Tensor und damit die Geometrie der Raumzeit.

Praktisch bedeutsam wird das für Schwarze Löcher und Neutronensterne, wo die Krümmung extrem stark ist, sowie für die großräumige Struktur des Universums. Die Frage, ob das Universum als Ganzes positiv, negativ oder flach gekrümmt ist, wird durch kosmologische Beobachtungen untersucht. Aktuelle Messungen der kosmischen Hintergrundstrahlung deuten auf eine sehr nahe an null liegende Gesamtkrümmung hin.